Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Εξίσωση Laplace ($\nabla^2 u=0$)

Καρτεσιανές συντεταγμένες

Στήνουμε τη ΜΔΕ


           Clear["Global`*"]
PDE = D[u[x, y], {x, 2}] + D[u[x, y], {y, 2}] == 0;
PDE
u[x, y] = X[x]*Y[y]
PDE = D[u[x, y], {x, 2}] + D[u[x, y], {y, 2}] == 0

Συνοριακές συνθήκες


            boundX1 = u[0, y] == 0
boundX2 = u[L, y] == 0
boundY1 = u[x, 0] == 0
boundY2 = u[x, L] == V0


            PDE[[1]]/(X[x] Y[y]) // Apart

Έχουμε τις κάτωθι Σ.Δ.Ε.


             ODEx = X''[x]/X[x] == λ
ODEy = Y''[y]/Y[y] == -λ

Θα εξετάσουμε τη μεταβλητή, η οποία διαθέτει ομογενείς συνοριακές συνθήκες. Αυτή εν προκειμένω είναι η x. Όπως και στην περίπτωση της εξίσωσης κύματος, οι περιπτώσεις $λ\geq0$ απορρίπτονται. Άρα:


               λ = -k^2
ODEx
ODEy
ODEx = X''[x] + k^2 X[x] == 0
ODEy = Y''[y] - k^2 Y[y] == 0

Οι συνοριακές συνθήκες που αφορούν το x, μάς οδηγούν στις `X(0)==0` και `X(L)==0`. Επομένως:


                DSolve[{ODEx, X[0] == 0, X[L] == 0}, X[x], x]

Έχουμε ιδιοτιμές τις `(nπ)/L` και ιδιοσυναρτήσεις τις `sin((nπ x)/L)`.


                 k = (n Pi)/L
DSolve[{ODEx, X[0] == 0, X[L] == 0}, X[x], x]
DSolve[ODEy, Y[y], y]

Επομένως έχουμε ότι η $u_n(x,y)=c_n \sin(\frac{n \pi x}{L}) \sinh(\frac{n \pi y}{L})$ ικανοποιεί τη Μ.Δ.Ε. και όλες τις ομογενείς συνοριακές συνθήκες. Ψάχνουμε επομένως μόνο την ικανοποίηση της: $\sum_{n=1}^{\infty} u_n (x,L)=V_ 0\Leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin(\frac{n \pi x}{L}) \sinh(n \pi)=V_0$ Πολλαπλασιάζουμε εσωτερικά τα δύο μέλη της τελευταίας ισότητας και λαμβάνουμε υπ' όψιν την ορθογωνιότητα των ημιτόνων. Έτσι:


                    c[n_] := Assuming[Element[n, Integers], 
  Integrate[V0 Sin[(n Pi x)/L], {x, 0, L}]/
  Integrate[Sin[(n Pi x)/L]^2 Sinh[n Pi], {x, 0, L}]]
c[n]

Ακολουθεί η προσέγγιση με $n_0$ όρους.


                     un[x_, t_, n_] := c[n] Sinh[(n Pi y)/L] Sin[(n π x)/L]
uApprox[x_, t_, n0_] := Sum[un[x, t, n], {n, 1, n0}]
uApprox[x, t, 4]

Εξειδικεύουμε και σχεδιάζουμε.


                      L = 2 Pi;
V0 = 3;


                      uApprox[x, t, 4]


                      Table[Plot3D[Evaluate[uApprox[x, y, n]], {x, 0, L}, {y, 0, L}], {n, 2,  6}]


                      Plot3D[Evaluate[uApprox[x, y, 20]], {x, 0, L}, {y, 0, L},  AxesLabel -> {"x","y"}]