Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Εξίσωση Laplace ($\nabla^2 u=0$)

Καρτεσιανές συντεταγμένες

Στήνουμε τη ΜΔΕ

Clear["Global`*"]
PDE = D[u[x, y], {x, 2}] + D[u[x, y], {y, 2}] == 0;
PDE
u[x, y] = X[x]*Y[y]
PDE = D[u[x, y], {x, 2}] + D[u[x, y], {y, 2}] == 0
\[u^{(0,2)}(x,y)+u^{(2,0)}(x,y)=0\]
\(X[x] Y[y]\)
\[Y[y] (X'')[x]+X[x] (Y'')[y]=0\]

Συνοριακές συνθήκες

boundX1 = u[0, y] == 0
boundX2 = u[L, y] == 0
boundY1 = u[x, 0] == 0
boundY2 = u[x, L] == V0
\[u(0,y)=0\]
\[u(L,y)=0\]
\[u(x,0)=0\]
\[u(x,L)=V0\]
PDE[[1]]/(X[x] Y[y]) // Apart
\[\frac{(X'')[x]}{X[x]}+\frac{(Y'')[y]}{Y[y]}\]

Έχουμε τις κάτωθι Σ.Δ.Ε.

ODEx = X''[x]/X[x] == λ
ODEy = Y''[y]/Y[y] == -λ
\[\frac{(X'')[x]}{X[x]}=\lambda\]
\[\frac{(Y'')[y]}{Y[y]}=-\lambda\]

Θα εξετάσουμε τη μεταβλητή, η οποία διαθέτει ομογενείς συνοριακές συνθήκες. Αυτή εν προκειμένω είναι η x.
Όπως και στην περίπτωση της εξίσωσης κύματος, οι περιπτώσεις $λ\geq0$ απορρίπτονται. Άρα:

λ = -k^2
ODEx
ODEy
ODEx = X''[x] + k^2 X[x] == 0
ODEy = Y''[y] - k^2 Y[y] == 0
\(-(k^{2})\)
\[\frac{(X'')[x]}{X[x]}=-(k^{2})\]
\[\frac{(Y'')[y]}{Y[y]}=k^{2}\]
\[(k^{2}) X[x]+(X'')[x]=0\]
\[-(k^{2}) Y[y]+(Y'')[y]=0\]

Οι συνοριακές συνθήκες που αφορούν το x, μάς οδηγούν στις X(0)==0 και X(L)==0. Επομένως:

DSolve[{ODEx, X[0] == 0, X[L] == 0}, X[x], x]
\[{{X[x]\to \begin{cases}C_{1} \sin((\sqrt{k^{2}}) x) & n \in Integers\mathbin{\&\&}n >=1\mathbin{\&\&}k^{2}=\frac{({n }^{2}) ({\pi }^{2})}{L^{2}}\mathbin{\&\&}L>0 \\ 0 & True\end{cases}}}\]

Έχουμε ιδιοτιμές τις (nπ)/L και ιδιοσυναρτήσεις τις sin((nπ x)/L). 

k = (n Pi)/L
DSolve[{ODEx, X[0] == 0, X[L] == 0}, X[x], x]
DSolve[ODEy, Y[y], y]
\[\frac{n \pi }{L}\]
\[{{X[x]\to \begin{cases}C_{1} \sin(\frac{n \pi x}{L}) & n \in Integers\mathbin{\&\&}(n=2 n \mathbin{|}n=\frac{\pi +2 n \pi }{\pi }) \\ 0 & True\end{cases}}}\]
\[{{Y[y]\to (E^{\frac{n \pi y}{L}}) C_{1}+(E^{-\frac{n \pi y}{L}}) C_{2}}}\]

Επομένως έχουμε ότι η $u_n(x,y)=c_n \sin(\frac{n \pi x}{L}) \sinh(\frac{n \pi y}{L})$ ικανοποιεί τη Μ.Δ.Ε. και όλες τις ομογενείς συνοριακές συνθήκες. Ψάχνουμε επομένως μόνο την ικανοποίηση της:

$\sum_{n=1}^{\infty} u_n (x,L)=V_ 0\Leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin(\frac{n \pi x}{L}) \sinh(n \pi)=V_0$

Πολλαπλασιάζουμε εσωτερικά τα δύο μέλη της τελευταίας ισότητας και λαμβάνουμε υπ' όψιν την ορθογωνιότητα των ημιτόνων. Έτσι:

c[n_] := Assuming[Element[n, Integers], 
  Integrate[V0 Sin[(n Pi x)/L], {x, 0, L}]/
  Integrate[Sin[(n Pi x)/L]^2 Sinh[n Pi], {x, 0, L}]]
c[n]
\[-\frac{2 (-1+{(-1)}^{n}) V0 Csch[n \pi ]}{n \pi }\]

Ακολουθεί η προσέγγιση με $n_0$ όρους.

un[x_, t_, n_] := c[n] Sinh[(n Pi y)/L] Sin[(n π x)/L]
uApprox[x_, t_, n0_] := Sum[un[x, t, n], {n, 1, n0}]
uApprox[x, t, 4]
\[\frac{4 V0 Csch[\pi ] \sin(\frac{\pi x}{L}) \sinh(\frac{\pi y}{L})}{\pi }+\frac{4 V0 Csch[3 \pi ] \sin(\frac{3 \pi x}{L}) \sinh(\frac{3 \pi y}{L})}{3 \pi }\]

Εξειδικεύουμε και σχεδιάζουμε.

L = 2 Pi;
V0 = 3;
uApprox[x, t, 4]
\[\frac{12 Csch[\pi ] \sin(\frac{x}{2}) \sinh(\frac{y}{2})}{\pi }+\frac{4 Csch[3 \pi ] \sin(\frac{3 x}{2}) \sinh(\frac{3 y}{2})}{\pi }\]
Table[Plot3D[Evaluate[uApprox[x, y, n]], {x, 0, L}, {y, 0, L}], {n, 2,  6}]
3D Plot
3D Plot
3D Plot
3D Plot
3D Plot
Plot3D[Evaluate[uApprox[x, y, 20]], {x, 0, L}, {y, 0, L},  AxesLabel -> {"x","y"}]
3D Plot